3.6 功率谱密度与线性时不变系统
为了在频域分析通信系统，通常使用功率谱密度（PSD）S_{XX}(f)来表征信号，该谱由宽平稳随机过程 X(t)的自相关函数R_{XX}(τ)的傅里叶变换获得。函数的功率谱密度与其自相关函数R XX(τ)在数学上通过爱因斯坦-维纳-欣钦(EWK)关系关联，即：
EWK关系的一个极为重要的推论是在确定作为线性时不变系统输出且输入为宽平稳随机过程时，其自相关函数或功率谱密度的实用价值。具体而言，假设我们用H(f)表示以h(t)为系统响应的线性时不变系统的频率响应。由此可以建立输入和输出功率谱密度之间的关系，随机过程由以下方程给出：
其中SXX(f)是输入随机过程的功率谱密度，SYY(f)是输出随机过程的功率谱密度。这一重要关系如图3.9所示。
为理解线性时不变系统对随机过程功率谱密度的影响，可使用代码3.5中的MATLAB脚本，该脚本生成二维均匀随机数的同相和正交分量。为突出线性时不变系统对功率谱密度的影响，我们采用firls函数设计了两个滤波器。其中一个滤波器具有较宽的通带，另一个滤波器具有较窄的通带。随后，二维均匀随机值分别经过两个系统滤波，结果功率谱密度如图3.10所示。
图3.10(a)和3.10(b)展示了原始双变量均匀随机值的三维和自上而下视角。我们观察到其密度几乎呈现矩形块状，这正是对双变量均匀分布的预期表现。当我们使用具有窄通带区域的滤波器对这些数据进行滤波并观察所得的功率谱密度（PSD）时，可以明显察觉滤波作用的效果，大部分PSD在外围区域被滤除。
这一现象在图3.10(c)和3.10(d)所示经滤波的双变量均匀随机值的三维和自上而下视角中表现得尤为明显。使用通带较大的滤波器时，PSD的周边部分未被明显滤除，如图3.10(e)和3.10(f)所示的经滤波双变量均匀随机值的三维及自上而下视角所示。
因此，本例的主要结论是，线性时不变系统的滤波操作会显著影响随机过程的功率谱密度。
3.7 窄带噪声
既然我们已经建立了有关随机变量和随机过程的坚实基础，现可将这些知识应用于无线通信系统中的窄带传输。一般而言，大多数传输设计为带限的，这是由于任何单一传输可使用的无线频谱资源受限。这些限制是必要的，因为可用无线频谱有限，且寻求利用该频谱的无线应用和用户数量日益增多。
图3.9 LTI 系统h(t)如何将宽平稳随机过程输入 X(t)的功率谱密度转换为宽平稳随机过程输出 Y(t)的功率谱密度的示例
窄带通信系统的关键组成部分之一是发射机和接收机处的窄带滤波器，这些滤波器被设计为仅允许调制信号通过。然而，这些窄带滤波器也会允许接收机处捕获的一部分噪声通过，因为将噪声从调制信号中分离非常困难。如果噪声是白噪声（即无关噪声），那么窄带噪声将呈现为余弦调制的带通滤波器响应形态。这是因为滤波前的白噪声具有平坦且覆盖从负无穷到正无穷整个频率范围的功率谱密度。当经过带通滤波器处理后，得到的窄带噪声功率谱密度将呈现带通滤波器幅度响应平方的形状，因为时域中噪声与滤波器的卷积对应于噪声功率谱密度与滤波器幅度响应的乘法（参见第3.6节）。
在建立便于表示窄带噪声的数学框架方面，有两种方法：同相/正交表示和包络/相位表示。这两种方法均可利用复数定义x表示为x=Ae^{jφ}= a+jb，其中x∈C，包络A、相位φ、同相分量 a和正交分量b均为实数，且A, φ, a, b∈R。 同相/正交表示与包络/相位表示之间的关系如下所示：
因此，我们可以通过下式描述复基带域中窄带噪声的同相/正交表示：
图3.10 滤波如何影响随机过程输出功率谱密度的示例。(a) 输入信号功率谱密度（三维视图），(b)输入信号功率谱密度（俯视视图），(c) 使用滤波器系数1的输出信号功率谱密度（三维视图），(d)使用滤波器系数1的输出信号功率谱密度（俯视视图），(e) 使用滤波器系数2的输出信号功率谱密度（三维视图），(f) 使用滤波器系数2的输出信号功率谱密度（俯视视图）
表3.4列出了同相/正交表示的若干重要性质。
类似地，窄带噪声的包络/相位表示的复基带形式可以写作
关于同相/正交表示与包络/相位表示在联合分布上的关系，结果极为重要。假设我们将nI(t)和 nQ(t)的联合概率密度函数定义为一个双变量高斯分布，表达式为
这等价于Rayleigh分布与均匀概率密度函数的组合。
3.8 随机变量的应用：室内信道模型
随机变量被用于设计和实现通信系统中随机现象建模的一个典范是Saleh和Valenzuela提出的室内信道模型[3]。 该信道模型基于室内环境会产生多径分量簇，而这些多径分量是无线信号反射周围环境的结果。
从数学角度，他们用以下表达式描述了接收机截取的发射信号反射：
文章来源：威视锐科技