YunSDR小课堂-信号与系统(第64讲)

2、第二章——信号与系统-2

2.3 信号表示

 理解信号的表示方法能够极大提升分析和设计数字通信系统的能力。我们需要多种便捷的数值数学框架来表示实际的射频、基带和噪声。

图2.16上采样倍数N=5，然后通过代码2.7生成的滤波限带波形。依然可以看到信号的重复分量，但滤波器已将其抑制至极低水平。滤波已经修正了上采样带来的振幅损失。(a) 上采样后滤波的限带正弦波：傅里叶域，(b) 上采样、滤波后再降采样的限带正弦波：傅里叶域，(c) 上采样后滤波的限带正弦波：傅里叶域，(d) 上采样、滤波后再降采样的限带正弦波：傅里叶域，(e) 上采样后滤波的限带随机数据：傅里叶域，(f) 上采样后滤波的限带随机数据：傅里叶域，(g) 上采样后滤波的限带随机数据：傅里叶域，以及(h) 上采样、滤波后的限带随机数据：傅里叶域。

信号。我们通常有两种：包络/相位和同相/正交，且两者均可在时域和傅里叶域中表示。

2.3.1 频率变换

    为了理解如何将信号从基带转换到射频以及从射频转换到基带，下面我们将更详细地分析调制器和解调器。例如，在图2.18中，我们看到一个非常经典的正交调制器。ADL5375接受两个差分基带输入和一个单端本振输入，输出为单端信号。本振接口生成两个相位相差90◦的内部本振信号，用以驱动混频器，混频器简单地将本振信号与输入信号相乘。

图2.18 ADL5375宽带正交调制器，频率范围为400MHz6 GHz。

    从数学角度来看，该混频过程将输入的两个信号IBB和QBB，分别记为I(t)和Q(t)，乘以频率为ωc的本振（LO），并将所得信号相加，形成我们的发射信号r(t)。 用于与 Q(t)相乘的本振（LO）相位移了90◦，使其与与 I(t)信号相乘的部分保持正交，由此得到如下方程：

本振频率记作ωc，通常称为载波频率，因其利用了同相分量（I(t)余弦(ωct)）与正交分量（Q(t)正弦(ωct)）之间的相位关系。因此，发射信号将同时包含这两个分量，但表现为单一的正弦曲线。

    在接收端，我们将通过类似但相反的过程，将 r(t) 转换或下变频回我们的同相和正交基带信号。通过施加同一本振（LO）及其第二个相位移分量于 r(t) 并通过低通滤波器，我们得到

实际上，发射机本振与接收机本振之间会存在一定的相位差，这可能导致r(t)的旋转。然而，同相（I)(t)与正交(Q)(t)之间的相位关系始终保持不变。

2.3.2 虚数信号

   将信号视为正交信号或复数信号，是利用欧拉及其他数学家构建的数学工具，从而简化分析过程。

    我们倾向于将信号称为同相（I）和正交（Q），因为这是严格准确的表述。如2.3.1节所述，同相（I）指与本振同相位的信号分量，而正交（Q）指与本振相位相差90◦的信号分量。

    将I描述为实数，Q描述为虚数是方便的，因为这样可以应用许多数学方法，但归根结底这仅是一种数学构造。

    频率变换是这种便利性的一个典型实例，由混频器实现。我们从欧拉公式出发

其中可将 x 定义为目标频率与时间的和。采用第2.3.1节的约定，但重新定义 I(t)和 Q(t)为实部和虚部，得到

 现假设 y(t)为频率为 ω_a 的连续波音调，作为示例，y(t)变为

 现在应用式(2.28)，我们可以将信号y(t)按期望频率ω_c进行频率平移：

通过欧拉恒等式的简单应用，我们得到的信号将存在于频率ω_a+ ω_c处。

    让我们从硬件角度进一步探讨复数表示的实用性。如果考虑图2.18中的混频器，IQ混频器能够传输具有任意相位与振幅（在功率限制内）的信号。这是一个示例，说明我们如何通过相位和振幅的差异将信息编码到传输的数据中。这实际上是通过我们同相和正交信号的关系实现的，这些信号可用于产生具有任意相位和振幅的单一正弦曲线。从数学角度看，我们可以利用两个正交分量——正弦和余弦，产生具有特定包络和相位（A,φ）的正弦曲线。该关系表达为

 因此，只需随时间调整正弦和余弦分量的振幅，即可由固定频率和相位的本振（LO）生成所需波形。或者，我们也可以采用其他坐标系对复数值进行可视化。这些复数（矩形坐标）的展开可以转换为表示幅度和角度（极坐标），甚至可以绘制为向量。

    图2.19中绘制的同相和正交正弦波显示了随着时间推移，向量（相量图）的表现，向量幅度绕轴旋转。可以清晰地看到I和Q之间的相位移。在时域中，也能观察到同相和幅度之间的差异，虽然相位差较为细微，不易察觉。在笛卡尔平面上，信号随时间表现为旋转的圆形轨迹。相量图始终随时间逆时针旋转，笛卡尔图则可根据I和Q之间相位差的正负方向旋转。虽然时域图显示随时间变化的运动情况，相量图和笛卡尔平面则表示某一时刻的快照（即时域图中t=0处）。 最后，频域图展示了相量的频谱，但仅传递幅度信息，遗失了相位信息。这是因为我们仅绘制了频谱的实部。然而，比较图2.19和2.20中的波形，I和Q分量（振幅及相位关系）的变化也会影响其他域。

2.4 信号度量与可视化

工程师在决定项目是否完成前，需要进行某种形式的验证。但由于通信系统的集成特性及发射和接收链的复杂性，评估通信系统十分复杂。

    如第1.4节所述，通信系统可能拥有除尺寸、重量、功率和成本（SWaP-C）之外的多种度量指标。性能度量，如位误差率（BER）、数据吞吐量和距离，也仅为顶层系统指标规格。正如我们对整个系统有系统级规格，我们同样对其他子系统及软件定义无线电构建块设有规格和测量技术。通过这种方式，我们可以确保不会对特定组件进行过度设计或不足设计。然而，权衡应始终在系统层面加以考虑，因为上游的修改可能影响下游组件或实现。

图2.19 同一连续波信号在多个域中的绘制。(a) 旋量 rad(t)，(b) 时间x(t) →，(c) 笛卡尔坐标 (I, Q)(t)，(d) 频率 X(ω)。

2.4.1 SINAD、ENOB、SNR、THD、THD + N与SFDR

    表2.2 [6] 列出了定量模拟动态性能的六个常用规格；即通过使用并理解这些测量指标，您将能够更好地分析设计并确保设计出最具鲁棒性的产品。尽管大多数器件和系统制造商已采用相同的规格定义，但仍存在部分例外情况。鉴于这些规格在器件和系统对比中的重要性，不仅需准确理解其具体含义，还应掌握各规格间的相互关系。

无杂散动态范围（SFDR）是信号均方根（RMS）值与频谱中最强杂散信号均方根值的比值，无论该杂散信号位于频谱的何处。最严重的杂散可能是，也可能不是原始信号的谐波。该项通常在感兴趣的带宽范围内测量，假定该带宽为奈奎斯特带宽。

除非另有说明；从直流至 fs/2（针对基带），以及从 -fs/2至 fs/2（针对如 Pluto 软件定义无线电等设备中的复数射频转换器）。SFDR 是通信系统中的一项重要规格，因为它代表可从强干扰信号（阻塞器）中区分出的最小信号值。SFDR通常以信号振幅为函数进行绘制，可相对于信号振幅（dBc）或ADC满量程（dBFS）表达，如图2.21所示。

MATLAB的sfdr函数以dBc为单位提供结果。对于接近满量程的信号，峰值光谱杂散通常由基础信号的前几个谐波中的某一个决定。然而，当信号振幅下降至满量程以下数分贝时，通常会出现非输入信号直接谐波的其他杂散。

这是由于系统传递函数的微分非线性在小信号情况下通常占主导地位所致。因此，SFDR考虑所有失真源，无论其起因如何，是评估各种通信系统的重要工具。

总谐波失真（THD）是基础信号均方根值与其谐波均方根值平方和的比值（通常仅考虑前五个具有显著影响的谐波）。ADC的总谐波失真（THD）通常是在输入信号接近满量程时规定，尽管也可以在任意电平下规定。

总谐波失真加噪声（THD + N）是基础信号的均方根值与其谐波及所有噪声分量（不包括直流）平方和的均值之比。测量噪声的带宽必须明确指定。在FFT情况下，带宽为直流到f2s。（若测量带宽为直流至f2s（奈奎斯特带宽），则THD + N等同于SINAD。）

信噪失真比（SINAD，或S/(N + D)）是信号振幅的均方根值与包括谐波但不含直流的所有其他光谱成分平方和的均值之比。SINAD是模拟系统整体动态性能的良好指标，因为它包含了构成噪声和失真的所有成分。SINAD通常针对不同的输入振幅和频率进行表征。对于给定输入频率及振幅，且噪声测量带宽相同（奈奎斯特带宽）时，SINAD等于THD+N。

信噪比（SNR，有时称为无谐波信噪比）是根据FFT数据计算得出，其方法与SINAD相同，但排除了信号谐波，仅包含噪声成分。

在实际应用中，只需排除前五个谐波，因为它们占主导地位。随着输入频率升高，SNR曲线会下降，但通常下降速度不会如SINAD那样快，原因是排除了谐波成分。

图2.21频带DC至 fs/2的无杂散动态范围（SFDR）。

2.4.2 眼图

    虽然这点显而易见，时域图用于观察电信号随时间的变化情况。通过实测，可以确定振幅、频率、上升时间、时间间隔、失真、噪声底等多种参数，以及这些特性随时间的变化。在电信中，眼图，也称为眼图案，是一种时域显示方式，其中来自接收机的数字数据信号被重复采样并施加到垂直输入端，而数据速率用于触发水平扫描[9]。 之所以称为眼图，是因为该图案看起来像一对轨道之间的一系列眼睛。

    由于眼图传达并测量多种关键信息，因此有助于量化算法或系统的性能表现。两个关键测量指标为垂直开口，即误码率阈值点之间的距离；以及眼高，即眼水平之间的最小距离。眼图中更大的垂直和水平开口始终更佳。

    MATLAB实践示例：为提供关于眼图的实际操作体验，我们采用MATLAB函数eyediagram，该函数是一种便捷的视觉化方法，用于分析传输信号中噪声和符号间干扰的程度。利用脉冲成形信号，我们可以观察到传输中任何存在的失真。