2. 第二章——信号与系统-2
2.7 软件定义无线电的传输技术
在第2.2节中，介绍了如何利用ADC将模拟信号转换为数字信号，详见图2.5。虽然这些由0和1组成的数字信号可以通过各种数字信号处理技术进行处理，但这些数字信号不能直接用于传输。这些信号必须先经过调理，然后再通过DAC转换回模拟信号。
由此可见，额外的降采样将允许位增长，并在系统中实现更高的保真度。
图2.44(a)示出了一个连续的模拟正弦波，该波以采样率fs进行采样。这些样本经过第2.2节中描述的量化器处理，输出如图2.44(b)所示。在本例中，
图2.44时域。(a) 连续模拟正弦波：时域；(b) 量化模拟正弦波：时域 使用了一个4位转换器，仅提供16个状态（以便于可视化）。 许多人自然而然地想用平滑的线将样本连接起来。然而，真实的波形在样本之间确实存在多个离散的阶梯，如图2.44(b)所示。采样点之间的值被忽略，且不会从ADC输出。 ADC输出并由数字信号处理算法处理，最终进入数字模拟转换器的信号并不需要波形平滑。因此，信号表现出如图2.45(a)所示。信号既非连续，也非平滑。只要理解第2.2.3节中描述的内容且不违反奈奎斯特采样定理，这种情况是足够的。只有当我们真正想将采样数据转换回连续模拟域时，这才成为问题。连续模拟域的带宽是无限的，并不会在fs/2处截止，如图2.45(b)所示当超出数字极限考虑时域数据时，信号的混叠现象依然存在。 这就是为什么我们传统上在软件定义无线电的发射部分设置两个滤波器：一个数字发射或脉冲整形滤波器，将数字消息中的每个符号转换为供数模转换器使用的数字脉冲流；随后是一个模拟重构滤波器，用以消除数模转换器引起的混叠[9]。 该过程如图2.46所示。
2.7.1 模拟重构滤波器
在第2.5.4节中，讨论了过采样如何降低抗混叠滤波器的设计要求，以及德尔塔-西格玛模数转换器所具备的这一固有优势。在基于数模转换器的系统中，插值概念可与模拟重构滤波器以类似方式结合使用。这在数字音频CD播放器中很常见，其中来自CD的数据基本更新速率约为44.1kSPS。 如2.2.5节所述，数据中插入零点，随后通过数字滤波器处理，从而将有效采样更新速率提高为原始速率的四倍、八倍或十六倍。高过采样率将镜像频率推至更高频段，从而允许采用过渡带更宽且结构更简化的滤波器。
相同的原理也适用于高速数模转换器。假设传统数模转换器以30MSPS的输入字速率驱动，如图2.47A所示；DAC输出频率fs为10 MHz。处于20MHz的镜像频率成分必须由模拟重构滤波器衰减，滤波器的过渡带位于10至20MHz之间。镜像频率必须被衰减60dB。因此，滤波器必须覆盖10MHz的通带，并在位于10至20MHz（一个倍频程）过渡带内实现60dB的阻带衰减。模拟巴特沃斯滤波器设计为每个极点提供每倍频程6dB的衰减。因此，至少需要10个极点以实现所需的衰减。随着过渡带变窄，所需的滤波器变得更加复杂。
接下来，假设我们将数模转换器的更新率提高到60MSPS，并将原始数据样本插值2倍，从而生成60MSPS的数据流。DAC相对于两倍过采样频率的响应如图2.47B所示。模拟重构滤波器的过渡区现在为10至50MHz（第一个镜像出现在2fc−fo=60−10=50MHz）。该过渡区现已超过两个倍频程，表明一个五极或六极巴特沃斯滤波器即可满足需求，且设计与构建更加简便。
图2.45 (a) 上采样带限正弦波：时域，及 (b) 带限随机数据：傅里叶域
2.7.2 数模转换器
理论上，最简单的数字-模拟转换方法是从存储器中提取样本并转换成冲激列。类似于采样
图2.46在发射端，数模转换器将数字符号转换为模拟信号以供传输
图2.47针对fo=10MHz，且fs=30MSPS，模拟重构滤波器的要求。fs=60 MSPS [18]
根据第2.2.2节中的函数，脉冲调制器可定义为
其中p(t)=1，当t=kT；且p(t) =0，用于所有其他时刻。因此，脉冲调制器后的模拟脉冲列为
每个数字符号s[n]都会触发一个按该符号值缩放的模拟脉冲。通过使该冲激列通过截止频率等于采样率一半的低通滤波器，可以重构原始模拟信号。
尽管该方法在数学上是严格的，但即便在现代电子技术中，也很难产生所需的无限窄冲激脉冲。为解决此问题，几乎所有数模转换器（DAC）均通过保持上一采样值直至接收下一采样来工作。这称为零阶保持，是DAC中对应于ADC采样保持操作的实现。零阶保持在时域中产生阶梯形波形，如图2.44(b)所示。
在频域中，零阶保持使冲激列的频谱与sinc函数相乘，其表达式为
如果您已有相关背景知识，零阶保持可以理解为冲激列与宽度等于采样周期的矩形脉冲的卷积。这会导致频域信号被矩形脉冲的傅里叶变换，即sinc函数所乘。图2.47中的虚线显示了30MHz和60MHz数模转换器的sinc函数。从图中可见，sinc函数衰减了通带内的信号。然而，系统中需要通过零阶保持效应的倒数来补偿这一效应，1/sinc(x)，或者干脆接受该非理想特性。许多人忽视此问题，但使用Pluto软件定义无线电能轻松解决，使用户能够方便地实现非常平坦的通带传输。
2.7.3 数字脉冲整形滤波器
为说明为何所有无线电设计中都需包含数字脉冲整形滤波器，以下将通过一个简短示例进行说明。相位移键控（PSK）是一种简单但常见的数字调制方案，通过改变参考信号的相位来传输数据。如图2.48(a)和2.48(d)所示，分别展示了载波的时域和频域特性。其频率极窄，应易于传输。
图2.48(b)和2.48(e)所示的交替出现的1和0的比特流引发了问题。观察可知，方波具有无限的频率成分，这在实际传输中极难实现。
当我们将图2.48(a)中的载波与图2.48(b)中的比特流相乘，尝试通过天线传输该数据时,结果如图2.48(c)和2.48(f)所示，产生了连续时间模拟域中带宽无限的信号。我们不仅在传输方面会遇到困难，邻近射频信道的最近邻用户同样会受到影响。
回到我们对脉冲的数学模型，式(2.70)表明如果没有数字脉冲整形滤波器，这些脉冲sa(t)将直接通过信道被传输。理论上，在接收机端具有无限带宽的情况下，我们应能获得相同的脉冲序列，尽管存在一定延迟。然而实际上，由于带宽有限且相邻符号间存在干扰，我们无法恢复该信号。
相邻符号可能相互干扰的情况有两种：
当脉冲形状宽于单个符号间隔T，或者存在非单位信道会使相邻脉冲扩展，导致其重叠。这两种情况均称为符号间干扰(ISI) [9]。
为解决这些问题，引入脉冲整形滤波器以限制发射波形的带宽。
图2.48相移键控调制信号、载波、数据及其调制波形在时域和傅里叶域的表现。(a) 载波：时域，(b) PSK数据：时域，(c) PSK调制：时域，(d) 载波：傅里叶域，(e) PSK数据：傅里叶域，以及(f) PSK调制：傅里叶域。
2.7.4 奈奎斯特脉冲成形理论
在通信系统中，通常存在两个脉冲整形滤波器，分别位于发射机端和接收机端，如图2.49所示，其中
图2.49通信系统的等效信道，由发射滤波器、信道及接收滤波器组成
我们使用hT(t)和hR(t)来表示发射滤波器和接收滤波器的冲激响应。为简化处理，在考虑奈奎斯特脉冲成形理论时，通常采用等效信道的概念，该等效信道不仅包含信道本身，还包含两个脉冲整形滤波器。因此，等效信道的冲激响应为
现在，让我们探讨在何种条件下可以确保符号之间不存在符号间干扰。等效信道的输入sa(t)已在式(2.70)中定义。如前所述，每个模拟脉冲均按符号的值进行缩放，因此我们可以用另一种形式表达sa(t)：
其中ak为第k个符号的取值。
因此，给定特定时刻，例如t=mT，其中m为常数，输入信号sa(t)为
由此，输出信号y(t)变为
由于不希望其他符号产生干扰，我们期望输出仅包含am项，即
此外，这意味着在时刻t=mT，我们需要满足
其中C为某个非零常数。
若将(2.77)推广至任意时刻t，即可得到如下奈奎斯特脉冲整形理论。一个脉冲不干扰其他在后续T间隔采样时刻满足该条件，可形式化表述为h(t)是奈奎斯特脉冲，当且仅当其满足对所有整数k均成立。
2.7.5 两种奈奎斯特脉冲
本节将介绍两种重要的奈奎斯特脉冲：即sinc脉冲 和升余弦脉冲。考虑式(2.78)时，我们最直观想到的是时间宽度小于T的矩形脉冲，或任何时间宽度小于T的脉冲形状。然而，矩形脉冲（及其他窄脉冲形状）的带宽可能过宽。窄脉冲形状不能有效利用频谱，而宽脉冲形状可能引起符号间干扰（ISI），因此所需的信号是在时间上较宽（频率上较窄）且满足式(2.78)奈奎斯特条件的信号[9]。
在数学中，sinc函数定义为
如图2.50所示，当变量x取整数值k时，sinc函数的值为
换句话说，归一化sinc函数的零点出现在非零整数值处。sinc函数的另一个重要性质是sinc脉冲是矩形信号的逆傅里叶变换，如图2.51(a)所示。假设
图2.50sinc函数的图形，定义见式(2.79)。 x轴为x，y轴为sinc(x)
矩形信号定义如下[19]：
对矩形信号进行逆傅里叶变换将得到sinc信号，表达为
将变量替换为t=kT，在(2.82)中得到
由于此处k为整数，根据(2.80)，我们可以将(2.83)继续写为
比较(2.84)和(2.78)，不难发现若令t=kT，则sinc脉冲正好满足第2.7.4节中提到的奈奎斯特脉冲成形理论。换言之，通过选择采样时间为kT（采样频率为 T^{-1}），我们的采样时刻位于等间隔的零点处，如图2.51(b)所示，从而避免了符号间干扰。
回顾2.2.3节中的奈奎斯特采样定理，该定理指出带宽限制为B赫兹的实信号x(t)，采用最小采样频率Fs=2B赫兹即可无误差重构。在此情况下，最小采样频率为Fs=1/T赫兹。因此，相应的最小带宽为
这正是式（2.81）中定义的矩形信号的带宽。基于上述讨论，这种选择的sinc脉冲h(t)可实现最小带宽B=Bmin=1/2T，因此称为奈奎斯特-I脉冲[20]。Sinc脉冲极具吸引力，因为其时间跨度宽而频率带宽窄，这意味着它兼具频谱效率高与无符号间干扰（ISI）优势。
然而，sinc脉冲因对时序误差敏感，在实际应用中不可行。例如，对于较大的t，式(2.82)中定义的sinc脉冲具有以下近似表达：
因此，显然时序误差会导致较大的符号间干扰（ISI）。我们还必须注意，sinc脉冲在时间上是无限的，因而无法实现。
因此，我们需要引入奈奎斯特第二频带脉冲，其带宽B>B{min}，但对ISI的敏感性较低。由于该类脉冲更为实用，因此在实际应用中更为广泛。升余弦脉冲是最重要的奈奎斯特第二频带脉冲之一，其频率传递函数定义为
其中β是滚降因子，取值范围为0到1，且β/2T是过量带宽。
升余弦脉冲的频谱如图2.52所示。一般来说，其带宽B≥1/(2T)。当β=0时，带宽B=1/(2T)，无过量带宽，实际上对应矩形脉冲。另一端，当β=1时，带宽达到最大值B=1/T。
图2.52升余弦脉冲频谱（由式(2.87)定义），随滚降因子β变化。横轴x为归一化频率f0。 实际频率可以表示为f0/T。
通过对H_{RC}(f)进行逆傅里叶变换，可以得到升余弦脉冲的冲激响应，定义为
奈奎斯特第二频带脉冲不存在符号间干扰灵敏度，因为其峰值失真，即h_{RC}(t)的尾部，迅速收敛，可以表示为
因此，当发生时序误差时，失真不会像奈奎斯特第一频带脉冲那样无限累积[20]。
实际上，在许多实际通信系统中，通常采用根升余弦滤波器[21]。 如果我们将通信信道视为理想信道，并假设发射滤波器和接收滤波器相同，则可以对二者使用根升余弦滤波器，其整体响应必须等于式 (2.87) 中定义的 HRC(f)。由于等效信道的冲激响应可以表示为
其中hC(t)是通信信道的冲激响应，hT(t)和 hR(t)分别是发射滤波器和接收滤波器的冲激响应，意味着在频域上，我们有
因此，根升余弦滤波器的频率响应必须满足
文章来源：威视锐科技