第二章——信号与系统-1
2.1时间域与频域
时间域与频域是表示相同信号的两种不同方式。傅里叶变换由其创始人—法国数学家兼物理学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶命名，揭示了这两种表示之间的数学关系。如果信号在一个域中被修改，另一个域的信号也会相应发生变化，尽管通常变化方式不同。
例如，时域中的卷积相当于频域中的乘法。其他数学运算，如加法、缩放和移位，在另一个对应域中也具有相应的操作。这些关系称为傅里叶变换的性质，描述了一个域中的数学变换如何导致另一个域中的相应变换。
傅里叶变换仅是描述信号的另一种方式。例如，研究吉布斯现象—即通过特定频率、相位和振幅的正弦波相加，可以逼近方波—可用公式(2.1)进行数学表达，并如图2.1所示。
当我们沿垂直于频率轴的时间轴观察信号时，我们看到的是时域。由于方向垂直于频率轴，因此不能直观地识别正弦波的频率。当我们变换域并沿垂直于时间轴的频率轴观察信号时，我们看到的是频域或傅里叶域。我们可以轻松识别信号的幅度和频率，但失去了时间信息。这两种视图代表同一信号，只是通过变换从不同域进行观察。
2.1.1 傅里叶变换
傅里叶变换家族包含四个成员：傅里叶变换、傅里叶级数、离散傅里叶变换（DFT）及离散时间傅里叶变换（DTFT）。 常说的FFT（快速傅里叶变换）及其逆变换IFFT，是DFT的一种特定实现。
函数 x(t) 的傅里叶变换定义为[1]：
其中，t为时域中以秒为单位的时间变量，ω为频域中以弧度每秒为单位的频率变量。
对X(ω)应用类似的变换，得到逆傅里叶变换 [1]：
其中，我们将 x(t)表示为复指数加权和。上述傅里叶变换对可表示为 [2]：
符号↔F左侧表示变换前函数，右侧表示傅里叶变换后函数。傅里叶变换在研究软件定义无线电傅里叶域时具有多种常用性质，已在表2.1中总结，供参考。
2.1.2 离散傅里叶变换的周期性质
与其他三种傅里叶变换不同，离散傅里叶变换将时域和频域信号均视为周期性（它们无限重复）。 这可能会令人困惑并且不便，因为许多信号处理应用中使用的信号并非周期性的。然而，如果您想使用离散傅里叶变换（及其快速实现FFT），则必须接受离散傅里叶变换所定义的周期性视角。
图2.2展示了对时域信号的两种不同解释。首先，观察上方信号，时域被视作N个采样点。这代表了软件定义无线电通常通过一个包含N个采样点的缓冲区来采集信号的方式。例如，这128个样本可能是通过以恒定时间间隔对某模拟信号进行采样而获得的。样本0和样本127是相互独立的，因为它们是在不同时间采集的。根据信号的形成方式，没有理由认为信号左侧的样本与右侧的样本之间存在任何关联。
不幸的是，离散傅里叶变换并非如此看待问题。如图2.2下部所示，离散傅里叶变换将这128个点视为一个无限长周期信号的单个周期。这意味着所采集信号的左侧与其重复信号的右侧相连接。同样，所采集信号的右侧连接至相同周期的左侧。这也可以理解为所获得信号的右端环绕并连接到其左端。
在此视图中，样本127紧邻样本0，正如样本43紧邻样本44一样。这称为循环性质，与将信号视为周期性信号相同。这正是窗口函数[3]需要在应用FFT函数之前预先施加于信号采样的原因，窗口函数与信号相乘，通过将不连续处强制为零来消除不连续性[4]。
2.1.3 快速傅里叶变换
计算离散傅里叶变换有多种方法，例如解线性方程组或相关法。快速傅里叶变换是计算离散傅里叶变换的另一种方法。尽管其结果与其他方法相同，但效率极高，通常可将计算时间缩减数个数量级。
虽然快速傅里叶变换仅需数十行代码，但它是信号处理中较为复杂的算法之一，其内部工作原理细节留待相关专业人员深入探讨。只要理解其操作原理，您可以轻松使用现有且经过验证的FFT例程[4,5]，而无需完全掌握其内部工作机制。
采用图2.3所示的通用测试装置进行FFT分析。FFT的频谱输出为频域中的一系列M/2点（其中M为FFT大小，即缓冲存储器中的样本数）。点间距为采样点数为 fs/M，覆盖的总频率范围为直流到fs/2，其中fs为采样率。每个频率箱的宽度（亦称FFT分辨率）为fs/M。
图2.3 ADC输出FFT分析的通用测试配置 [6]。
图2.4展示了使用模拟器件公司的ADIsimADC®程序对理想12位ADC的FFT输出。需注意，FFT的理论噪声底等于理论信噪比（SNR）加上FFT过程增益10log10(M/2)。 须牢记，用于计算信噪比的噪声值覆盖整个奈奎斯特带宽（直流至 fs/2），但FFT作为带宽为fs/M的窄带频谱分析仪，在频谱上进行扫描。这相当于将噪声降低一个等同于过程增益的量——效果相当于缩小模拟频谱分析仪的带宽。
FFT输出可用于如同模拟频谱分析仪一般，测量数字化信号中各谐波及噪声成分的振幅。输入信号的谐波可通过其在频谱中的位置与其他失真产物区分。
文章来源：威视锐科技