2. 第二章——信号与系统-2
2.6 软件定义无线电的数字信号处理技术
数字信号处理（DSP）始终处于数学复杂性、计算性能和日益增长的移动性前沿，影响着通信、医学成像、雷达、娱乐乃至科学探索等领域。然而，所有这些领域均依赖于将模拟信息转换为数字表示，并通过某些机制处理这些数据的理念。为此，工程师和科学家依赖包括C语言和Verilog在内的通用工具与语言，这些工具和语言能够以高效且程序化的方式操作数字信息。无论使用何种语言，许多重要的数字信号处理软件问题均与硬件密切相关，例如截断误差、位模式以及处理器的计算速度与效率[14]。 目前，我们将主要忽略这些问题，着重讨论信号处理的算法问题，并介绍常用算法。
2.6.1 离散卷积
卷积是一种将两个信号组合成第三个信号的数学工具，是所有数字信号处理（DSP）的基础。利用冲激分解策略，系统通过称为冲激响应的信号进行描述。卷积的重要性在于它关联了三个关键的信号：输入信号、输出信号和冲激响应。
图2.36展示了卷积在应用于线性系统时的符号表示。一个离散采样的输入信号x[n]进入具有冲激响应的线性系统。
图2.34Σ- 调制器对量化噪声的调节作用
图2.36卷积在数字信号处理中的应用。线性系统的输出信号等于输入信号与系统冲激响应的卷积。
冲激响应h[n]产生输出信号y[n]。 用文字表述，输入信号与冲激响应的卷积等于输出信号。如式(2.41)所示，卷积由∗运算符表示。遗憾的是，大多数编程语言如MATLAB使用星号表示乘法，而通过像MATLAB的conv函数这样特殊函数来表示卷积。计算机程序中的星号表示乘法，而此处的星号表示卷积。
卷积的数学本质由多个乘法与加法运算组成。如果x[n]是一个长度为N的信号，样本索引从0到N−1，且h[n]是一个长度为M的信号，样本索引从0到M −1，则两信号的卷积 y[n] = x[n] ∗ h[n]是一个长度为N+M−1的信号，样本索引从0到N+M−2，其表达式为
该方程称为卷积和。它允许输出信号中的每个采样点独立于其他采样点进行计算。索引i决定了当前正在计算的输出信号的具体采样位置。此处的n不应与式子y[n]=x[n] ∗h[n]中的n混淆，后者仅作为变量占位符，用于指示数组的索引。MATLAB中两个向量卷积和的实现示例如代码2.16所示。
在信号处理中，卷积可以从两个不同的角度来理解。第一种角度是从输入信号的视角来看卷积，这涉及分析输入信号中的每个采样点如何影响输出信号的多个点。第二种角度是从输出信号的视角来看卷积，考察输出信号中的每个采样点如何从输入信号的多个点接收信息。请注意，这两种视角是对同一数学运算的不同思考方式。
第一种视角十分重要，因为它提供了对卷积在信号处理中作用的概念性理解。第二种视角则描述了卷积的数学本质。这体现了信号处理领域最具挑战性的任务之一，即使你的概念理解与用于表达这些思想的复杂数学语言相契合。
图2.37展示了卷积在低通和高通滤波中的应用，相关内容将在第2.6.4节中详细介绍。示例输入信号是两个分量的和：三个周期的正弦波（代表高频），
图2.37(a)低通滤波和(b)高通滤波的卷积示例。本例中，输入信号由几周期正弦波和一个缓慢上升的斜坡组成。通过使用恰当选择的冲激响应对这两部分信号进行分离。
加上缓慢上升的斜坡信号（由低频组成）。 (a)中，低通滤波器的冲激响应呈平滑拱形，仅允许缓慢变化的斜坡波形传递至输出。类似地，高通滤波器 (b) 仅允许变化较快的正弦曲线通过。
2.6.2 相关
互相关和自相关是软件定义无线电中的两个重要概念。互相关用于衡量两序列的相似程度，其函数关系依赖于其中一序列相对于另一序列的位移。
相关的概念通过示例可以得到最佳说明。图2.38显示了雷达系统的关键组成部分。一个专门设计的天线在选定方向发射一段短时无线电波能量。如果传播波遇到某个物体，如本例中的直升机，部分能量会被反射回位于发射机附近的无线电接收机。发射脉冲具有我们预先选定的特定形状，例如本例中所示的三角形。接收信号由两部分组成：(1) 被偏移和缩放的发射脉冲版本；(2) 由干扰无线电波、电子设备中的热噪声等引起的随机噪声。由于无线信号以已知速度—光速—传播，发射信号与接收信号之间的偏移。
图2.38雷达系统的关键组成部分。与其他回声定位系统类似，雷达发射被检测物体反射的短脉冲能量。因此，接收波形是发射波形的偏移版本，并叠加随机噪声。在噪声信号中检测已知波形是回声定位的基础问题。该问题的解决方案是相关。
脉冲的偏移直接反映了已知形状信号与被检测物体之间的距离。挑战在于确定信号在另一个信号中出现的最佳方式。相关是解决此问题的关键方法。
相关是一种数学运算，与卷积极为相似。与卷积相同，相关运算利用两个信号产生第三个信号。该第三个信号称为两个输入信号的互相关。若一个信号与自身进行相关运算，所得信号则称为自相关。互相关信号中每个采样点的振幅，表征了接收信号在该位置与目标信号的相似程度。这意味着互相关信号中每当存在一个目标信号，便会出现一个峰值。换言之，当目标信号与接收信号中相同的特征对齐时，互相关值达到最大。
相关运算是随机噪声中检测已知波形的最优技术之一。即，利用相关运算所得的峰值相较于任何其他线性系统，均更显著超过噪声水平。（严格而言，该方法仅对随机白噪声具有最优性。）利用相关运算检测已知波形常被称为匹配滤波。更多内容详见第4.7.1节。
对于离散函数f和g，互相关定义为
其中h∗表示h的共轭。函数f(t)与g(t)的互相关等价于f*(−t)与g(t)的卷积，即
切勿被卷积与相关在数学形式上的相似性所迷惑；二者代表截然不同的信号处理概念。卷积描述系统的输入信号、输出信号与冲激响应之间的关系。
相关是一种用于在噪声背景中检测已知波形的方法。这种类似的数学关系是一种方便的巧合，便于实现算法优化。
2.6.3 Z变换
在第2.1.1节中，我们介绍了傅里叶变换，该变换处理连续时间信号的频域特性。鉴于本节聚焦于数字滤波器设计，涉及离散时间信号，故需引入一种新的变换，即Z变换。
离散时间信号x[n]的Z变换定义为下述幂级数：
其中z为复变量[1]。
Z变换用于分析离散时间系统。其连续时间对应变换为拉普拉斯变换，定义如下：
式中， t是以秒为单位的时域时间变量， s=σ +jω是一个复变量。当沿jω轴（即sigma =0）评估时，拉普拉斯变换退化为式(2.2) 中定义的傅里叶变换。因此，拉普拉斯变换将傅里叶变换从实线（频率轴 jω）推广至整个复平面。
根据第2.2.2节，我们知道，若连续时间信号x(t)被均匀采样，其采样信号 xs(t)可表示为
其中T为采样间隔。若对两边取拉普拉斯变换，将得到
由于积分和求和均为线性算子，我们可以交换它们的顺序。然后，基于德尔塔函数的采样特性，我们可以进一步得到
由于T是采样间隔，x(,nT,)=x[n]。上述方程可以进一步写为
这正是式（2.44）中Z变换的定义。因此，Z变换与拉普拉斯变换之间可以通过以下关系建立联系。
根据式 (2.44)，我们知道Z变换是一系列z^{-1}的级数。实际上，除非该级数收敛，否则Z变换无意义。给定一个有限振幅序列x[n]，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为收敛域（ROC）。 根据级数理论，这些z值必须满足
常用的Z变换对及其收敛域列于表2.4中。
在线性时不变系统分析中，其系统冲激响应的Z变换可表示为两个多项式的比值：
其中A(z)=0的根称为系统的极点(poles)，B(z)=0的根称为系统的零点(zeros)。系统可能具有多个极点和零点。若对分子B(z)和分母A(z)进行因式分解，则式(2.54)可表示为：
其中C为常数， {pk}为所有极点， {zk}为所有零点。这将帮助我们绘制H(z)的极点零点图。
假设我们有一个线性时不变系统，其系统冲激响应定义为
比较(2.57)与(2.55)，可知该系统有两个零点，z1=0和z2=−a，以及三个极点， p1=p2=p3=a。 因此，其极点零点图如图2.39所示。
图2.39 由（2.57）定义的系统的极点零点图。极点以叉号表示，零点以圆圈表示。该系统的收敛区域为圆 z= |a|之外的区域。
Z变换具有若干性质，在研究Z变换域中的信号与系统时十分有用。由于这些性质与第2.1.1节中介绍的傅里叶变换性质极为相似，故在表2.5中列出，且不再赘述。
2.6.4 数字滤波
在进行信号处理时，我们通常需要去除噪声并提取有用信号。此过程称为滤波，所使用的设备称为滤波器，其根据加于输入端信号的某些属性，决定通过的成分。典型的滤波器是一种频率选择电路。若噪声与有用信号的频率分布不同，且同时存在于滤波器输入端，则应用该电路可使噪声衰减甚至消除，而保留有用信号。
滤波器可从不同角度进行分类。例如，根据频率响应，滤波器可分为低通、高通、带通及带阻。根据所处理的信号类型，滤波器可分为模拟滤波器或数字滤波器[1]。 具体而言，模拟滤波器处理连续时间信号，而数字滤波器处理离散时间信号。本节将重点介绍数字滤波器。这些类型滤波器的理想幅度响应特性如图2.40所示。根据图2.40，理想滤波器的幅度响应特性可概括如下：在通带内幅度恒定，而在阻带内幅度降为零。然而，实际中无法实现此类理想滤波器，因此实用滤波器实际上是对理想滤波器的最优近似。
为了实现数字滤波，数字系统的输入和输出均须为离散时间序列。若输入序列为x[n]，滤波器的冲激响应为h[n]，则输出序列y[n]为
![图2.40频率范围[0, 2π]上四种滤波器的理想幅度响应特性.png](https://cdn.eetrend.com/files/ueditor/108/upload/image/20260105/1767577612629353.png "1767577612629353.png")
图2.40频率范围[0, 2π]上四种滤波器的理想幅度响应特性。(a) 低通滤波器，(b) 高通滤波器，(c) 带通滤波器，其中(ωc1,ωc2)为通带，(d) 带阻滤波器，其中(ωc1,ωc2)为阻带。
根据表2.5中的时间卷积性质，在频域上，式(2.58)等价于
其中X(z)和Y(z)分别是输入序列x[n]和输出序列y[n]的Z变换，H(z)是序列h[n]的Z变换。
由于理想砖墙滤波器在实际中不可实现，我们将注意力限制在由差分方程[1]描述的线性时不变系统类别上：
其中y[n]为当前滤波器输出，y[n−k]为先前滤波器输出，x[n−k]为当前或先前滤波器输入。该系统的频率响应如下：
其中 {ak}为滤波器的反馈系数，对应滤波器的极点，{bk}为滤波器的前馈系数，对应滤波器的零点，N为滤波器的阶数。
基本数字滤波器设计问题是通过合理选择系数 {ak}和 {bk}，用具有频率响应(2.61)的系统逼近任意理想频率响应特性[1]。
数字滤波器基本有两种类型：有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。当系统受到单位抽样δ[n]激励时，系统的冲激响应 h[n]可能持续有限时间，如图2.41(a)所示；也可能自输入施加之前便一直存在且持续无限时间，如图2.41(b)所示。前者称为有限冲激响应系统，后者称为无限冲激响应系统。长度为M的FIR滤波器，其输入为 x[n]，输出为y[n]，可由差分方程[1]描述：
其中滤波器无反馈系数{ak}，故H(z)仅含零点。
IIR滤波器在式(2.60)中定义，含一个或多个非零反馈系数{ak}。 因此，滤波器一旦受单位脉冲激励，输出将持续存在。
2.6.4.1 案例研究：级联积分-梳状滤波器
级联积分-梳状滤波器（CIC滤波器）在软件定义无线电硬件中具有重要作用。该滤波器由Eugene B. Hogenauer发明，属于用于多速率信号处理的一类FIR滤波器。CIC滤波器广泛应用于插值与降采样。然而，与大多数FIR滤波器不同，其体系结构中内置了一个降采样器或插值器[16]。
图2.41FIR滤波器和IIR滤波器的冲激响应。(a) FIR滤波器的冲激响应，(b) IIR滤波器的冲激响应。
CIC滤波器由一个或多个积分器和梳状滤波器对组成。在降采样CIC中，输入信号依次通过一个或多个级联积分器，然后经过降采样器，之后通过数量等同于积分器数量的一个或多个梳状滤波器段。插值CIC则是上述结构的逆过程，用上采样器代替降采样器，如图2.42所示。
为说明梳状滤波器的一种简单形式，考虑由差分方程描述的移动平均FIR滤波器：
该FIR滤波器的系统函数为
假设用zL替代z，其中L为正整数；则得到的梳状滤波器系统函数为：
其中L为降采样或插值比率，M为每级样本数，通常取1或2。
该滤波器在单位圆上具有零点，位于
对所有整数值的k均适用，除非k=0, L, 2L, ..., ML，如图2.43所示。常见的CIC滤波器形式通常由多个级联阶段组成，复合CIC滤波器的系统函数为
其中N为复合滤波器中的级数。
图2.42插值级联积分器-梳状滤波器结构[17]，其输入信号为x[n]，输出信号为y[n]。 该滤波器由一对梳状滤波器与积分器滤波器组成，配合插值比率为L的上采样器。
图2.43 式(2.65)中定义的CIC滤波器的零点分布，所有零点均位于单位圆上。
CIC滤波器的特性包括线性相位响应，并且仅采用延迟、加法和减法运算。换言之，该滤波器不涉及乘法运算，因此适合硬件实现。
2.6.4.2 案例研究：FIR半带滤波器
FIR半带滤波器在多率信号处理中广泛应用，尤其是在插值和抽取操作中。半带滤波器采用多相结构可高效实现，因为其约一半的系数为零。半带滤波器具有两个重要特性：通带波纹与阻带波纹相同，且通带边缘频率与阻带边缘频率相对于半带频率f4s对称分布。
例如，Pluto软件定义无线电在接收和发射链路中配备多个可编程半带滤波器。RX HB3/DEC3提供两种不同的固定系数降采样滤波器，可选择的降采样因子为2、3或1（旁路）。 滤波器的输入信号（ADC 输出）为24，即 16个采样值。
当使用RX HB3滤波器时，降采样因子设为 2，采用以下系数：[1, 4, 6, 4, 1]。 注意，RX HB3滤波器的满量程范围为16（24）。 当使用RX DEC3滤波器时，降采样因子设为 3。 其系数如下：[55, 83, 0, -393, -580, 0, 1914, 4041, 5120, 4041, 1914, 0, -580, -393, 0, 83, 55]。RX DEC3滤波器的满量程范围为16384（214）。
文章来源：威视锐科技