作者：Vivek Krishna Kanchanapalli
赛灵思 Fast Fourier Transform (FFT) IP 具有专用于处理 FFT 输出中的位增长的缩放因子。本文旨在提供有关此 IP 中可用缩放方法的见解，并提供缩放调度选择方法以避免出现文中所述的溢出问题。
缩放原因：
《快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform) 产品指南》(PG109) 中对于缩放的解释如下：用于实现 FFT 算法的算术运算可能导致位增长，而使用缩放则可避免出现此问题。在 Radix-2 和 Radix-4 FFT 实现的最差情况下，可能会出现这种位增长问题。
在 Radix-2 蝶形中，其输出可能按 1+sqrt(2) 的因子（即 2.414）出现增长。因此，在此情况下根据用于 FFT 的有符号格式，输出将增长 2 位。同样，Radix-4 的输出可能按 1+3sqrt(2)=5.24 的因子出现增长，即增长 3 位。
后续每个蝶形阶段都会引入这种位增长的问题（作为最差情况）。如果输出中的位数必须与输入中的位数相同，那么该位增长问题必须得到妥善处理。
对于 Radix-4，根据缩放调度中的值，其中位元可向右移 1、2 或 3 位。对应的输出值将缩小 2^（缩放值），这样结果即可得到妥善处理，且输出中不发生任何位增长。
如果不使用缩放，则会导致出现如上所述的位增长，即未经缩放的输出中包含整数值。输出精度将包含整数部分，而二进制小数点则仍位于输入精度中小数点所在相同位置。综上，输出精度为 (C_INPUT_WIDTH + C_NFFT_MAX + 1) 位，且在二进制小数点之后仍有 (C_INPUT_WIDTH - 1) 个小数位。
缩放类型:
仅当数据格式为定点类型时，FFT IP 中的“缩放 (Scaling)”选项才可用。假定 FFT IP 的输入精度类型为 Fix(C_INPUT_WIDTH,C_INPUT_WIDTH - 1)。
FFT IP 中有 3 个缩放选项可供使用：
1. 未缩放 (Unscaled)
2. 已缩放 (Scaled)
3. 块浮点 (Block Floating Point)
Unscaled：正如其名，对 FFT IP 中的数据不应用任何缩放。这会导致输出中出现位增长。在此情况下，输出精度将包含整数部分，LSB 中的增长将被截断或舍入。此时，输出精度为“Fix(C_INPUT_WIDTH + C_NFFT_MAX + 1, C_INPUT_WIDTH - 1)”，其中，给定的“C_NFFT_MAX”为 log2(maximum FFT point size)。
Scaled：通过在每个 FFT 阶段中对位元执行右移，从而使 FFT IP 的输出缩小。每个阶段的相移量是使用 scaling_sch 来设置的，并使用 FFT IP 上的“配置接口 (Configuration interface)”来提供此相移量。由于进行了缩放，FFT IP 的输出精度与输入精度相同，即，Fix((C_INPUT_WIDTH,C_INPUT_WIDTH - 1)。
为每个阶段提供足够的缩放时请务必谨慎，否则，可能会发生溢出，导致数据卷绕。一旦发生溢出，则可能导致无法继续在应用中使用这些数据。(PG109) 描述了 Vivado 中的 FFT IP、C/Mex 模型和 System Generator 中的 FFT IP 块的缩放调度字段的宽度和格式。
Block Floating point (BFP)：在此模式下，核会自动判定缩放值，它会以最佳方式使用可用动态范围，并避免溢出。输出精度与输入精度相同，即 Fix((C_INPUT_WIDTH,C_INPUT_WIDTH - 1)。核所应用的位元右移总数的输出结果为“m_axis_data_tuser”接口和“m_axis_status_tdata”接口上的指数值 (blk_exp)。缩放因子计算方式为 (2^blk_exp)。由于该核自动计算缩放值，它会使用附加资源，从而导致资源计数比“scaled”模式下的资源数更高。
判定缩放调度
在 FFT IP 中使用 scaled 模式时，需通过运行系统仿真来判定用于避免溢出的缩放调度。
对于特定类型的输入数据中的大部分帧而言，要选出能够避免溢出的最佳缩放值，可能难度较大。在此情况下，可使用 C 语言模型工具来帮助选择缩放调度。
在每个阶段中，对典型输入数据集运行仿真时，通过监控状态总线中的溢出信号，可以判定适用缩小还是放大。(PG109) 的第 5 章对 FFT C 语言模型和 MATLAB 模型进行了详细解释。
(PG109) 还描述了适用于每种 FFT 架构类型的保守缩放调度方法。此缩放调度可避免所有数据类型出现溢出。
如果 N=1024
- Radix-4 突发 I/O：[10 10 10 10 11]
- 流水打拍式串流 I/O：[10 10 10 10 11]
- Radix-2 突发 I/O 或 Radix-2 轻量级突发 I/O：[01 01 01 01 01 01 01 01 01 10]
保守型缩放调度可根据“N”的值进行进一步扩展或缩减。
例如，在流水打拍式串流模式下，保守型缩放调度如下：
- 如果 N=512：[01 10 10 10 11]
- 如果 N=2048：[01 10 10 10 10 11]
虽然保守型缩放可阻止所有输入值出现溢出，但由于过度缩放，它也会减小输出值。这可能导致无法有效利用输出值的可用动态范围，并导致输出值过度缩放。由此导致需要执行仿真才能判定相应的缩放因子，使所提供的输出既能有效利用可用动态范围同时也能避免溢出。
另一种缩放值的判定方法是在 Block-Floating Point (BFP) 模式下使用 FFT IP。FFT C 语言模型可在 BFP 模式下使用，并可对输入数据运行仿真。BFP 将在状态接口中生成块指数值，以指示核所应用的缩放量，从而以最有效方式利用输出的动态范围并避免输出发生溢出。
由于 BFP 下的块指数表示核内部的位元相移数，因此“Scaled”模式下的缩放调度的相移位数可设置为与之相同的值。例如，在 BFP 模式下且 N=1024，如果块指数值为“9”，那么“Scaled”模式下的“scaling_ sch”可设置为相移 9 位。有多种方法可用于在不同 FFT 阶段间实现相同的位移，遵循保守型缩放调度模式正是其中一种适合的“scaling_sch”配置方法。
在以上示例中，块指数值 9 可在“Scaling_sch”中配置为 ( 00 10 10 10 11)，从而导致相移 9 位。此缩放调度所提供的输出比保守型缩放调度更好，后者可能导致数据过度缩放。
示例：
在 MATLAB 中，FFT Mex 模型的用途示例之一就是用于观测缩放对于输出的影响。由于使用了 Mex 模型，因此数据图也可供使用。在此示例中，FFT 含 14 种不同输入帧，并针对每个帧使用不同缩放调度来执行计算。MEX 文件包含在本文随附的 ZIP 文件内。
首先，在 BFP 模式下配置 FFT，并将其用于判定每个帧的块指数。随后，在 scaled 模式下配置 FFT，并通过将 scaling_schedule 设置为如下值来计算每个帧：
1. 保守型缩放值。
2. 等同于 BFP 模式下针对该帧获取的块指数的缩放值。
随后，即可绘制出通过 Block Floating pointing (BFP) 模式和 Scaled 模式使用上述缩放因子获取的 FFT 的量级。图例如下。在图中可以观测得知，保守型缩放导致数据缩放过度，并避免了溢出，而含块指数输出的 BFP 输出和 Scaled FFT 输出则可提供更高输出量级，同时避免溢出。
示例的局限性：此示例使用的 .txt 文件含 14 帧，每帧含 2048 个样本。要检查其它 FFT 点数大小“N”，请生成含“N”个样本的数据帧。
FFT IP 输出。红线 - BFP 模式输出，绿色虚线 - Scaled 模式下的 FFT IP 输出，缩放因子设置为块指数，蓝色 - 使用保守型缩放因子的输出。
说明：
此处随附的 m 脚本需要使用 FFT IP C 语言模型文件。要运行此示例，请将该目录解压，将示例文件（m 脚本和文本文件）复制到在 Vivado 中生成 FFT IP 输出文件时所创建的 C 模型目录中。
完成文件复制后，需构建专为 FFT 提供的 Mex 文件 (make_xfft_v9_1_mex.m)。如需获取有关使用 FFT C 语言模型的更多指示信息，请参阅 (PG109) 第 5 章：C 语言模型。
参考资料：
https://china.xilinx.com/support/documentation/ip_documentation/xfft/v9_...
