4. 频谱分析
4.2 理解傅里叶变换
4.2.1 连续的频率
周期波形的傅里叶级数包含基频的谐波。我们可以使用如图4.14右侧所示的频率幅值图来绘制时域波形的谐波。
现实世界的波形从来都不是真正的周期性的，因为它们包含与信息内容相关的瞬态和随机成分。非周期波形不能展开成傅里叶级数，因为无法获得波形的周期。为了使用傅里叶级数，我们可以假设波形在“无限”时间后重复。
如果假设波形的周期趋于正无穷，那么基频和相关谐波之间的间隔趋于零。为了观察周期趋于无穷大的影响，我们可以分析增加周期长度的影响。图4.15给出了增加周期长度的方形脉冲的频率幅值图。请注意，随着周期长度的增加，谐波的数量也增加(导致谐波之间的空间变小)，谐波的幅度减小，因为时域和傅里叶级数表示中的总能量必须保持不变。
周期趋于无穷大的方波得到的频率幅值响应是连续频率响应。波形中的总能量保持不变，谐波的幅度是1/T数量级。实际绘制频率幅度响应需要对y轴对T进行放缩。因此，在将傅里叶级数方程转化为傅里叶变换时，我们需要将傅里叶级数系数乘以一个因子。
4.2.2 傅里叶变换
对式（4.29）两边乘以T：
4.2.3 傅里叶反变换
4.3 离散傅里叶变换
当连续波形的时间轴被分成离散点时，可以周期性地采样，这些点被采样周期分开。当使用数字系统或设备(如FPGA)时，可能会对采样(数字)波形执行算术运算。离散傅里叶变换(DFT)是傅里叶变换的一个特殊版本，它将产生采样波形的离散频谱。
4.3.1 DFT方程
DFT将对一个经过常规采样周期离散采样的数字波形进行操作。观察图4.16所示的数字波形，用于索引离散样本，表示样本的数量。
离散波形必须服从因果律，其数据点的振幅仅取决于过去和当前的输入。设我们的离散波形是因果的，那么可以改变求和的下限为，即的第一个样本点。此外，在我们的离散波形中不太可能存在无限数量的数据样本。因此，可以将求和的上限设为N-1。
4.3.2 幅度和相位
我们经常用X(k)的幅度和相位谱来说明它的频率内容。可以从图4.18中看出中X(k)的复数与其幅度和相位之间的关系。
4.3.3 近距离观察DFT
通过欧拉公式可以将（4.42）重写为：
我们可以将DFT应用于输入波形以显示其频谱。我们的输入波形将由1200Hz和2400Hz的两个频率分量组成。可以使用正弦波创建这些频率分量，将它们加在一起创建输入波形，如下所示。
波形以离散时间间隔有规律地采样，其中采样频率为9600Hz，图4.17给出了输入波形及其正弦分量的图。
4.3.4 对称性和周期性
假定输入波形在间隔N上是周期性的。同样地，N点DFT的输出在一个区间N上也是周期性的。
4.3.5 归一化
通过除以输入波形的长度N，我们可以对DFT的复输出进行归一化：
需要注意的时，该式只用于矩形窗口。
4.3.6 幅度、功率和对数尺度
注意图4.21，正弦波的基频为200Hz，其幅度被量化为256级，采样频率2为1000Hz，总共由32个样本，我们能够计算DFT的归一化幅度然后通过计算来推导功率谱。
图4.22左侧给出了正弦波功率谱的示例图。功率谱使用32点DFT计算。通过使用y轴的对数尺度，我们可以更容易地看到更宽的尺度.对数尺度功率谱计算为:
还有另一种对数尺度表示方法，称为分贝相对于全尺度，缩写为dBFS：
注意，分贝相对于满量程不可能产生高于0.00 dBFS的值。图4.23左边是使用dBFS的正弦波的对数尺度幅度谱图。
最后一种表示是另一种对数尺度方法，称为相对于载波的分贝，用dBc表示。这种方法将频谱表示为输入波形功率与载波波形功率之比。如果输出比为正，则输入波形的功率大于载波。或者，如果输出比为负，则载波比输入波形具有更大的功率。相对于载波的分贝可以计算为：
4.3.7 频率区
在前一节中，我们研究了几种绘制离散时间波形的频率幅度谱的方法。在这些图中，我们可以清楚地看到，频率轴被分成几个离散的频率。工程师通常将频率轴上的一个点命名为“bin”。每个信道按频率分辨率(也称为基频)有规则地间隔。
可以使用计算DFT输出的频率分辨率为125Hz，频率轴上的点以频率分辨率在[-fs/2, fs/2]之间间隔。如果我们增加输入样本的数量N，那么可以提高DFT的频率分辨率，如图4.25。需要注意的是，同样会增加DFT的算术运算次数。
获得更精细频率分辨率的另一种方法是降低输入波形的采样频率。这种变化不会对DFT的计算需求产生相当大的影响。如图4.26所示，将8点DFT应用于使用500Hz采样频率获得的正弦波。
4.3.8 逆DFT
DFT是一种将离散时间波形转换成离散频率波形的工具。我们可以通过使用逆DFT(通IDFT)来反转操作：
4.3.9 频谱泄露
当DFT应用于图4.27中的正弦波时，我们实际上假设波形是周期性的，如图4.28所示。在波形的一个周期和另一个周期之间有一个突变。这些点被称为不连续点，只能在波形采样间隔的端点处找到。不连续的发生是因为输入波形的端点与DFT的基频周期或频率分辨率不一致。
绘制出之前在图4.27中给出的离散幅度响应，以及80Hz正弦波的等效连续频率响应。该图如图4.29所示。
DFT是等效连续频率幅值响应的采样版本。没有80Hz的频率仓，因此能量泄漏到邻近的仓中，导致DFT输出不准确地表示离散时间波形的频率内容。
4.3.10 加窗
在使用DFT之前，我们可以通过对离散波形施加特定的窗口来减少频谱泄漏的影响。许多窗口具有使离散波形的端点“逐渐变细”的效果，以减少突变。有许多不同类型的窗，包括Hamming, Hann, Blackman-Harris和Bartlett。
窗是从一个较大的数据集中提取数据子集的过程，以便由另一个函数处理或在数据传递之前修改数据。若数据保持为修改，那么我们只是在指定的窗口(或间隔)截断数据集。这种类型的窗户被称为矩形窗户。图4.30说明了在离散的80Hz正弦波上使用矩形窗口的过程。
矩形窗口只是用来从离散波形中提取一段数据，而不影响数据。正如我们已经建议的，窗口也可以用来修改数据。例如，我们可以在应用DFT之前逐渐减小窗口的端点，以减少频谱泄漏。用于使离散波形的端点逐渐变细的常用窗口是Hann窗口，它作用于离散的80Hz正弦波的效果如图4.31所示。
锥形窗口可以减少DFT中的频谱泄漏。加窗的作用是使峰值频率的主瓣变宽。但是，减少了引起频谱泄漏的旁瓣。让我们看一下图4.30和图4.31所示的加窗离散波形的频率幅值图。每个波使用1000Hz采样，并应用16点DFT来获得它们的频率表示，频率幅值响应分别绘制在下面的图4.32中。
我们可以看到，在汉恩窗口对应的幅度图中，主瓣已经变宽(与矩形窗口相比)。旁瓣的幅度也减小了，有效地抑制了频谱泄漏。与矩形窗口相比，汉恩窗口对应的图具有较低的幅度响应。较低的响应发生是因为我们缩放了离散时间波形的幅度，这导致DFT输出成比例地减少。
当我们使用修改离散波形幅度的其他窗口时，我们需要通过窗口样本的总和来缩放(或归一化)DFT输出，如下所示。
图4.34展示了各种窗的表示，图4.35展示了在归一化对数尺度上的一些窗幅度响应(16384点DFT)。
有时，我们将讨论以dB(对数尺度量级)表示的旁瓣的衰减。这些值对应于窗口的频率幅度响应。我们在图4.35中提供了每个窗口响应的图。
4.3.11 栅栏损失
一个离散波形可能包含一个恰好位于两个DFT点之间的频率。当这种情况发生时，来自该频率的能量在DFT输出响应中泄漏到邻近的点中。我们可以测量波形电平的最坏情况降低。正式地，这被称为栅栏损失，通常缩写为SL。图4.36为包含在1000Hz采样频率下获得的离散93.75Hz正弦波的连续频率幅值响应图。
响应的最大值集中在93.75Hz。如果我们对正弦波应用16点DFT，那么能量将精确地介于两个离散的频率箱(62.5Hz和125Hz)之间。我们没有93.75Hz的频率点，所以能量落在邻近的点中。上图中的栅栏损失为0.6376，因为这是波形频率幅度响应中最坏的情况。我们可以将栅栏损失定义为位于两个DFT点中间的相干增益除以DFT点处的相干增益，相干增益就是离散波形中所有样本的总和，除以波形中的样本数。
4.3.12 补零
补零是一种技术，涉及在离散波形的末端插入零值样本，以提高DFT图的频率分辨率。补零的效果本质上是DFT中频率采样点的插值，因此没有额外的“信息”被创建在信号上。时域补零的效果如图4.37所示，其中上面的每个示例都包含一个采样频率为2000Hz的离散250Hz正弦波。
我们可以看到，对输入波形进行补零可以获得更精细的频率分辨率。这种技术对于峰值查找特别有用。例如，考虑一个频率幅度图，由于输入波形在采样周期内不是周期性的，因此具有频谱泄漏。我们可以使用补零来提高频率分辨率，并获得与峰值对应的频率。
文章来源：威视锐科技
